Denksportliches Wochenende

Auflösung der ersten Aufgabe

Mit Freuden stellen wir fest, dass sehr viele von Ihnen Spaß an der ersten denksportlichen Mathe-Aufgabe hatten. Haben auch Sie fleißig mitgerätselt? Als Belohnung erhalten Sie hier die Auflösung der ersten Aufgabe zum Thema ›Zerlegen ganzer Zahlen‹:

DIE METHODE:

Da John sämtliche Platten verlegen möchte, sind die möglichen Maße der Terrasse stets Zahlenpaare, deren Multiplikation 504 ergibt.
Länge • Breite = Fläche. Anfangs ist es einfach, solche Zahlenpaare zu finden:
Sofort fallen einem 1 504 und 2 252 ein, aber möglicherweise übersieht man auf diese Weise ein Paar, und ich nehme an, John möchte als Terrasse keinen schmalen Streifen. Ein systematischer Ansatz besteht darin, die Zahl zunächst in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Dafür kann man entweder einen Faktorenbaum oder die Division von unten nach oben verwenden. Anschließend haben wir die Primzahlenzerlegung: 504 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 oder 504 = 2³ • 3² • 7.
Denksport-Mathematik: Zerlegen ganzer Zahlen
Damit können wir die Primfaktoren von 504 ermitteln. Stellen wir uns einmal vor, wir würden uns an einem Eisstand befinden. Zur Auswahl stehen vier Geschmacksrichtungen, dreierlei Waffeln und zwei Soßen. Wie viele Kombinationen aus Eis, Waffeln und Soße sind möglich, wenn wir nur eine Kugel nehmen – wir wollen ja nicht zu gierig sein? Nun, die Antwort lautet:
4 • 3 • 2 = 24

Das Gleiche gilt für die Faktoren von 504. Wir haben vier Alternativen für die Zahl der Zweien (null, eine, zwei oder drei) im Faktor, drei für die Zahl der Dreien und zwei für die Zahl der Siebenen. Nimmt man noch 1 und 504 hinzu, ergeben sich insgesamt 24 Faktoren.
Zur Klarstellung: 18 ist ein Faktor von 504: Die Zahl enthält aus den Primfaktoren zweimal die 3 und einmal die 2 (3 3 2 = 18). Die zweite Zahl im Zahlenpaar – mit der man 18 multiplizieren muss, um 504 zu erhalten – besteht aus den restlichen Primfaktoren und ergibt sich demnach aus 2 2 7, was 28 ergibt.
Wir haben also: 18 • 28 = 504

Die Faktoren lauten in der Reihenfolge:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24,
28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252,
504.

Als Nächstes müssen wir sie paarweise zusammenstellen, damit sich jeweils 504 ergibt. Das hört sich schwierig an, ist aber in Wirklichkeit kein Problem. Wenn wir die Zahlen in der Reihenfolge auf geschrieben haben, müssen wir nur jeweils eine vom vorderen und vom hinteren Ende der Liste kombinieren und dies so lange wiederholen, bis wir bei
dem Paar in der Mitte angelangt sind.

DIE LÖSUNG:

Die Zahlenpaare lauten:

1 • 504     6 • 84     12 • 42

2 • 252     7 • 72     14 • 36

3 • 168     8 • 63      18 • 28

4 • 126     9 • 56      21 • 24

John hat also – entsprechend den zwölf genannten Zahlenpaaren – zwölf Möglichkeiten für die Abmessungen seiner Terrasse.

Michael Willers: Denksport - Mathematik, dtv premium

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