Denksportliches Wochenende

Auflösung der zweiten Aufgabe


DIE METHODE:

Zur Lösung der Aufgabe kann man systematisch alle Begegnungen aufschreiben. Das ergibt bei 20 Personen eine lange Liste, aber wenn wir eine kleinere Anzahl wählen, erkennen wir vielleicht eine Gesetzmäßigkeit. Versuchen wir es einmal mit sechs Personen.

A trifft B; B trifft C; C trifft D; D trifft E; E trifft F

A trifft C; B trifft D; C trifft E; D trifft F

A trifft D; B trifft E; C trifft F

A trifft E; B trifft F

A trifft F

Die Zahl der Begegnungen nimmt von Mal zu Mal ab, weil wir Personen, die bereits vorgestellt wurden, nicht noch einmal vorstellen müssen. (Wenn also Andy bereits Bruce vorgestellt wurde, braucht Bruce nicht noch einmal Andy vorgestellt zu werden.) Bei sechs Personen ergeben sich demnach 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Vorstellungen. Bei 20 Gästen ergeben sich für Andy 19 Begegnungen, für Bruce 18, für Chris 17, und so weiter. Die Zahl der Begegnungen beträgt also 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 190. Eine große Summe, aber auch die 19. Dreieckszahl. Zum Auffinden der Dreieckszahlen gibt es natürlich eine Formel:

Michael Willers: Denksport Mathematik - Bruch 1

oder in unserem Beispiel:

Michael Willers: Denksport Mathematik - Bruch 2

Eine andere Methode bedient sich der Kombinationen, die wir auf S. 127 bereits kennengelernt haben. Ob Andy nun Bruce oder Bruce Andy trifft, spielt keine Rolle; die Reihenfolge ist unwichtig, also handelt es sich nicht um eine Permutation, sondern um eine Kombination. Wie wir bereits erfahren haben, ist eine Kombination die Zahl der Wege, auf denen man r Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kann. In unserem Fall ist es die Zahl der Wege, um zwei Menschen aus einer Gruppe von 20 auszuwählen:

Michael Willers: Denksport Mathematik - Bruch 3

Dies ist die Zahl der Händedrücke. Wenn der Vorstellungsprofi für jede Vorstellung zwei Euro bekommt, beträgt sein Honorar 190 • 2 € = 380 €. Und wenn er für jede Vorstellung eine Minute 15 Sekunden oder 1,25 Minuten braucht, arbeitet er 190 • 1,25 = 237,5 Minuten oder 3,9583 Stunden, ein wenig aufgerundet also vier Stunden. Sein Stundenlohn beträgt 380 : 4 = 95 Euro.


DIE LÖSUNG:

Der Vorstellungsprofi stellt 190 mal zwei Personen einander vor. Dafür bekommt er 380 Euro, ein Stundenhonorar von 95 Euro.
Solche Dinge kommen uns vielleicht bekannt vor, weil man die Lösung von Kombinationsaufgaben im Pascalschen Dreieck finden kann. 20C2 ist die dritte Zahl in der 21. Zeile.

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